在三维空间中，我们探讨如何在z轴上找到一个点A，使得它到已知点B(1,1,3)和C(2,1,-21)的距离相等。这个问题涉及到空间几何中的距离公式以及方程求解。

首先，我们需要明确题目中的条件。已知点B和C的坐标分别是(1,1,3)和(2,1,-21)，而我们要找的点A位于z轴上，因此它的坐标可以表示为(0,0,z)。

接下来，根据距离公式，我们可以分别计算点A到点B和点A到点C的距离。

设点A的坐标为(0,0,z)，则：

点A到B的距离为：√[(0-1)2 + (0-1)2 + (z-3)2] = √[1 + 1 + (z-3)2] = √(z2 - 6z + 11)

点A到C的距离为：√[(0-2)2 + (0-1)2 + (z+21)2] = √[4 + 1 + (z+21)2] = √(z2 + 42z + 457)

由于题目要求这两个距离相等，因此我们有：

√(z2 - 6z + 11) = √(z2 + 42z + 457)

平方两边消去根号后得到：

z2 - 6z + 11 = z2 + 42z + 457

化简上述方程：

-6z - 42z = 457 - 11

-48z = 446

解得：

z = -9.3

因此，在满足题目条件的情况下，位于z轴上的点A的坐标是(0,0,-9.3)，这就是我们要找的满足条件的点。