在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理、工程等领域也有着重要的作用。下面通过几个例题来加深对向量的理解。

### 例题1：向量的加法与减法

已知向量$\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$，求$\vec{a} + \vec{b}$和$\vec{a} - \vec{b}$。

**解答**：根据向量加法和减法的定义，我们有

\[

\vec{a} + \vec{b} = (3+1, 4+2) = (4, 6)

\]

\[

\vec{a} - \vec{b} = (3-1, 4-2) = (2, 2)

\]

### 例题2：向量的模与单位向量

已知向量$\vec{c} = (-5, 12)$，求$\vec{c}$的模以及单位向量。

**解答**：向量$\vec{c}$的模为

\[

|\vec{c}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

\]

单位向量为

\[

\hat{\vec{c}} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)

\]

### 例题3：向量的数量积

已知两个向量$\vec{x} = (2, -3)$和$\vec{y} = (-4, 5)$，求这两个向量的数量积（点积）。

**解答**：两个向量的数量积（点积）定义为

\[

\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1y_1 + x_2y_2

\]

代入给定的值，我们得到

\[

\vec{x} \cdot \vec{y} = (2)(-4) + (-3)(5) = -8 - 15 = -23

\]

### 例题